論理的な証明に必要な基礎知識

幾何学、そして数学全体の論理的な美しさは、私たちが扱う定義、定理、証明、そして仮定と結論という、わずかな論理の構成要素の理解から始まります。

これらの概念の違いを明確にすることは、単なる知識の整理に留まりません。
数学的な文章を読む際や、自分で証明を考える際に、「どこまでが前提か」「何を示すべきか」という構造が瞬時に見えるようになり、あなたの思考の視点を大きく変えるでしょう。

1 数学の論理的な土台
2 命題の構造（仮定と結論）
- 2.1 命題の種類と必須条件
3 まとめ：論理の武器を手に、数学の真実を掴む

数学の論理的な土台

定義（Definition）
- 役割: 言葉の意味を明確にすることです。ある図形や概念を扱うための約束事であり、それ自体に「正しい」「間違っている」という判断は伴いません。
- 例: 「二等辺三角形とは、二つの辺の長さが等しい三角形である。」
- 特徴: 定義は、その後の定理の証明の出発点となります。定義が揺らぐと、その後の論理はすべて破綻・崩壊します。
定理（Theorem）
- 役割: 正しいことが証明された、図形の性質や法則のことです。
- 例: 「二等辺三角形の底角は等しい。」
- 特徴: 定理は、必ず証明という手続きを経て、真実であると確定されます。一度定理として確立されると、それは新しい証明のための道具として自由に使えます。
証明（Proof）
- 役割: 定義や公理、既に証明された定理を根拠として使い、ある命題が真実であることを論理的に導き、それを定理とする手続きです。
- 特徴: 論理の連鎖であり、感情や直感ではなく、厳格なルール（公理）に基づいて行われます。

命題の構造（仮定と結論）

定理や数学的な主張は、ほとんどの場合、「もし (If) \(\cdots\) ならば (then) \(\cdots\)」という仮定と結論が組み合わさった形で構成されており、これを「命題」と呼びます。
※「もし (If) \(\cdots\) ならば (then) \(\cdots\)」という形式ではない命題もあります。

仮定（Hypothesis）
- 位置: 命題の「もし \(\cdots\) ならば」までの部分。
- 役割: 前提条件であり、この条件が満たされているときに、初めて結論が導かれます。
- 例: 「もし、三角形が二等辺三角形であるならば」 \(\rightarrow\) （仮定）「三角形は二等辺三角形である」
結論（Conclusion）
- 位置: 命題の「ならば \(\cdots\)」以降の部分。
- 役割: 仮定が満たされたときに導き出されるべき結果（主張）です。
- 例: 「その底角は等しい。」 \(\rightarrow\) （結論）「その底角は等しい」

命題の種類と必須条件

① 命題の必須条件（真偽の判定）

命題であるための最も基本的な要件は、その文が真 (True) なのか、偽 (False) なのか、明確に判定できることです。

命題の例:
- 「\(2 + 2 = 5\) である。」（偽と判定できるので命題です）
- 「全ての素数は奇数である。」（偽と判定できるので命題です）
命題ではない例:
- 「明日、雨が降るだろう。」（真理値が未来に依存し、論理的に定まらないので命題ではありません）
- 「このリンゴは美味しい。」（主観的で真偽が客観的に判定できないので命題ではありません）

② 条件命題（If \(\cdots\) then \(\cdots\) 形式）

「もし (If) \(\cdots\) ならば (then) \(\cdots\)」という形式は、命題の中でも最も重要で一般的な形式である条件命題、または含意（Implication）と呼ばれます。

\(P \Rightarrow Q \quad (\text{P ならば Q})\)

\(P\): 仮定 (Hypothesis) – 満たされている前提条件。
\(Q\): 結論 (Conclusion) – 仮定が満たされたときに導かれる主張。

数学の定理や定義の多くは、この条件命題の形をとっています。

③ その他の命題形式

全ての命題が「If \(\cdots\) then \(\cdots\)」の形を取るわけではありません。

単純な主張: 真偽が判定できる単純な断定文も命題です。
- 例：「円周率は無理数である。」
同値命題（必要十分条件）: 命題が双方向で成り立つことを示します。
- 例：「ある四角形が長方形であることと、その四角形が四つの角が全て等しいことは同値である。」