数学は、論理と厳密さの上に築かれた学問です。
しかし、私たちが普段使う「数」や「関数」といった基本的な概念でさえ、厳密に定義しようとすると、思わぬ曖昧さに直面することがあります。
現代数学は、この曖昧さを完全に排除し、すべての概念を統一的に記述するための共通言語を必要としました。
それが、20世紀初頭に基礎が確立された集合論（Set Theory）です。
集合論は、数学のあらゆる分野 ―― 代数学、解析学、幾何学、そして計算機科学 ―― の土台であり、これを理解することは、数学的思考の厳密さを身につけることと同義です。
たとえば、こんな経験はありませんか？
やる気満々で微分・積分や線形代数といった応用分野の学習を始めたものの
\(\in\) \(\subset\) \(\forall x \cdots\)
といった集合論の記号が説明もなく登場して意味が分からなくなる。
集合論と直接的な関係がない分野であっても、すべての数学における厳密な定義は集合論という「共通言語」に依存しています。
本連載では、現代数学の出発点となる「集合」の概念と、その厳密な表記法の基礎を学びます。
曖昧な直感から離れ、論理的に定義された数学の世界への第一歩を踏み出しましょう。
1. 集合と要素の定義：数学世界の「箱」と「中身」
1.1. 集合論の出発点
集合論は、「集合」と「要素（元）」という二つの最も基本的な概念から始まります。
これは、私たちが論理的な数学的構造を構築するための、最初のビルディングブロックです。
- 集合 (Set): ある性質を共有するものの集まりです。要素を一つにまとめておく「箱」や「コンテナ」のようなものとして集合をイメージできます。
- 要素（元 / Element）: 集合を構成している一つひとつの「もの」、すなわち箱の「中身」です。要素は、数、文字、関数、あるいは別の集合（別の箱）など、どのような対象でも構いません。
要素 \(x\) が集合 \(A\) の中身、すなわち \(A\) に属している（含まれている）ことを示す記号が、帰属関係を示す \(\in\)（ギリシャ文字のイプシロン）です。
\(x \in A\)
逆に、要素 \(y\) が集合 \(A\) に属していないことを示す記号は、\(\in\) に斜線を入れた \(\notin\) です。口頭で読み上げる際は、意味をそのまま表現して「属さない」、あるいは「ノット・イン」と読むのが一般的です。
\(y \notin A\)
例：集合 \(A\) が \(\{1, 2, 3\}\) であるとき、
- \(1 \in A\) （1 は \(A\) の要素である）
- \(4 \notin A\) （4 は \(A\) の要素ではない）
1.2. 集合の重要な二つの性質
集合は、私たちが日常的に使う「リスト」や「グループ」とは異なり、その要素の扱いに厳密な二つのルールがあります。
これらのルールは、論理的な集合論の基礎を支える重要な柱になるため、しっかりと記憶・理解しておいてください。
1.2.1. 要素の順序は考慮しない
集合を定義する際、要素を記述する順番は、その集合の同一性に影響を与えません。
\(A = \{1, 2, 3\} \text{ と } B = \{3, 1, 2\} \text{ は }\)
\(A = B \text{ であり、同じ集合}\)
このルールは、集合が「箱」であるならば、中身が箱のどこに入っているか（順序）は重要ではない、ということを意味します。
1.2.2. 要素の重複は無視される
集合の中では、同じ要素を何回記述しても、それは一つの要素として扱われます。
\(C = \{1, 2, 2, 3, 1\} \text{ は、 }\)
\(C = \{1, 2, 3\} \text{ と全く同じ集合}\)
集合は、ある要素が「その性質を持っているか、持っていないか」という属性に着目するため、重複して持っているという概念が存在しないからです。
1.3. 特殊な集合
集合論の議論を進める上で、特定の役割を持つ特別な集合を定義する必要があります。
1.3.1. 空集合 (\(\emptyset\))
空集合（Empty Set）は、要素をひとつも持たない集合です。
\(\mathbf{\emptyset} \quad \text{または} \quad \mathbf{\{ \quad \}}\)
空集合は、任意の集合 \(A\) の部分集合となるという特殊な性質を持ちます。
この性質は、後に重要になります。
1.3.2. 全体集合 (\(U\))
ある議論や文脈の中で、対象となるすべての要素を含む集合を全体集合（Universal Set）と呼び、通常 \(U\) で表記します。
全体集合は、その名の通り「全体」を指しますが、これは文脈によって相対的に変化するものです。
例えば、ある問題で整数の集合を扱っているとき、\(U\) はすべての整数全体（\(\mathbb{Z}\)）を指すかもしれません。
ここで用いた \(\mathbb{Z}\) のように、数学では特定の数の集合（自然数 \(\mathbb{N}\)、実数 \(\mathbb{R}\) など）を表すために特殊な記号を使います。
これらの記号やその他の頻出記号の意味は、【完全保存版】集合論で頻出する主要な記号一覧でご確認いただけます。
2. 厳密な集合の表記法
集合を定義し、数学的な議論の対象とするためには、その要素が曖昧さなく確定している必要があります。
そのために、集合論では主に以下の二つの厳密な表記法を用います。
- 外延的記法 (Extensional Notation)：要素をすべて列挙する方法。
- 内包的記法 (Intensional Notation)：要素が満たすべき条件を記述する方法。
では、それぞれ詳しく解説していきましょう。
2.1. 外延的記法（要素の列挙）
集合を記述する直接的な方法が外延的記法（Extensional Notation）です。
これは、集合が持つすべての要素を、中括弧 \(\left\{ \quad \right\}\) の中に列挙する方法です。
- 定義: 要素をカンマで区切り、中括弧で囲んで記述します。
- 用途: 要素の数が有限で少ない集合を定義する場合に、内容がすぐに把握できるため非常に便利です。
例: 3以下の自然数全体の集合 \(A\)
\(\mathbf{A = \{1, 2, 3\}}\)
2.2. 内包的記法（条件による記述）
要素をすべて列挙できない無限集合や、定義が複雑な集合を扱うには、内包的記法（Intensional Notation）が必須となります。
これは、集合の要素が満たすべき厳密な条件を記述することで、集合を定義する方法です。
2.2.1. 厳密な内包的記法の構造
内包的記法は、以下の一般的な構造を持ちます。
\(\mathbf{A = \{ x \mid P(x) \}}\)
| 記号 | 名称 | 意味 |
|---|---|---|
| \(x\) | 要素 | 集めたい要素の代表。 |
| \(\mid\) または \(:\) | 条件区切り | 「ただし」を意味する。 |
| \(P(x)\) | 条件（命題関数） | 要素 \(x\) が満たすべき、真偽が明確に定まる判定基準。 |
2.2.2. 内包的記法における厳密さの要点
この記法の厳密さは、\(\mathbf{P(x)}\) の部分にあります。
条件 \(P(x)\) は、任意の対象 \(x\) について、「その条件を満たす（真/True）」か「満たさない（偽/False）」かのどちらかが必ず確定するものでなければなりません。
例: 5 以上の整数全体の集合 \(C\)
\(C = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x \geq 5 \}\)
- \(x \in \mathbb{Z}\): 要素 \(x\) は整数全体（\(\mathbb{Z}\)）から選ばれる。
- \(x \geq 5\): 要素 \(x\) は 5 以上という条件を満たす。
この二つの条件により、\(C\) に含まれる要素が完全に確定します。
🔚 まとめ
本記事では、現代数学の土台となる「集合」の概念について、その厳密さに焦点を当てて解説しました。
- 集合と要素: 集合は要素を入れる「箱」であり、要素 \(x\) が集合 \(A\) に属する関係を \(x \in A\) と記述することを学びました。
- 厳密な性質: 集合においては、要素の順序や重複は完全に無視されるという、日常のリストとは異なる二つの重要なルールがあることを確認しました。
- 表記法の厳格さ: 集合を定義する方法として、要素を列挙する外延的記法と、条件を記述する内包的記法の二つを習得しました。特に、内包的記法においては、条件 \(P(x)\) が真偽を明確に確定させることが、曖昧さを排除する鍵となります。
次回予告：集合の関係性と操作
今回の記事で、集合という「箱」と「中身」を厳密に定義できるようになりました。
しかし、数学は定義されたものを操作してこそ意味があります。
次回の記事 【集合論入門 2】 では、この定義を土台として、集合と集合の関係性、そして集合を操作するための重要な記号を学びます。
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