【集合論応用 3】トポロジーへの扉：位相空間と開集合系の定義

これまでの入門編から応用編を通じ、「集合」と「写像」、そして無限のサイズを測る「濃度」について学んできました。
そこでの関心は、主に集合に含まれる個々の要素をどう対応させ、その「個数」をどう測るかという点にありました。

しかし、数学にはもう一つの大きな視点があります。
それは、要素そのものの個数だけではなく、要素たちが互いにどのような位置関係にあり、どのように繋がっているかという「構造」に注目する視点です。

ただのバラバラな砂粒のような集合に、隣り合わせのルールを付け加えることで、「かたち」を持った空間へと進化させる。
集合論がどのようにして現代的な「空間」の概念を生み出していくのか。その橋渡しとなる「位相空間論」の入り口を覗いてみましょう。

第1章：定規を捨てて「近さ」を測る

ただの集合を「空間」として扱うためには、要素同士の「近さ」や「つながり」を定義する必要があります。
トポロジー（位相幾何学）の世界では、定規で測る距離の代わりに、「境界線をどう扱うか」というルールを使ってこれを実現しました。

このルールには、対照的な2つの視点、「開集合かいしゅうごう」と「閉集合へいしゅうごう」があります。

1.1. 開集合：境界に決して触れない世界

数直線上の \(1\) から \(3\) までの範囲を例に考えます。
両端の境界である \(1\) と \(3\) をどちらも含まない範囲を、数学では開集合（開区間）と呼びます。

• 数式による定義：\(U = \{ x \in \mathbb{R} \mid 1 < x < 3 \}\)
• 直感的な特徴：\(x\) が境界となる数より大きく、かつ小さい（未満）という、不等号にイコールを含まないルールで集められた世界です。

トポロジー的な意味で言えば、この中のどの数を選んでも、境界（\(1\) や \(3\)）との間には、必ず「まだ別の数（仲間）」が存在するわずかな隙間があります。
具体的には、\(2.9\) を選んでも、\(2.99, 2.999, 2.9999, \dots\) と僅かに 3 には届かない数値が続くことになるという意味です。
この「全方位に仲間がいる（余裕がある）」という性質が、トポロジーにおける「近さ」の根拠となります。

1.2. 閉集合：境界を自分の身内にした世界

一方、境界である \(1\) と \(3\) をぴたりと含む範囲が閉集合（閉区間）です。

• 数式による定義：\(F = \{ x \in \mathbb{R} \mid 1 \le x \le 3 \}\)
• 直感的な特徴：境界となる数「以上」、かつ「以下」という、不等号にイコールを含むルールで集められた世界です。

トポロジー的な意味で言えば、ここでは境界である \(1\) や \(3\) という地点そのものに到達し、停止することができます。
一歩でも外へ出るとそこは別の集合、という明確な「壁」を自分の一部として持っている状態です。

1.3. 位相（Topology）とは「開集合のリスト」である

ただの集合 \(X\) に「空間としての構造」を与えるには、どの部分集合を開集合と認めるかという選定の基準が必要です。

数学では、集合 \(X\) の部分集合の中からいくつかを選んで作ったリスト \(\mathcal{O}\) が以下の3つの条件（位相の3公理）を満たすとき、これを位相（開集合系）と呼びます。

1. 全体と空：\(X\) 自身と空集合 \(\emptyset\) は、常に開集合のリストに入っている。
2. 和集合：リストにある開集合を、いくつ（無限個でも）合わせても、再びリスト内の開集合になる。
3. 共通部分：リストにある開集合を、2つ（有限個）重ねた重なりの部分も、再びリスト内の開集合になる。

このリスト \(\mathcal{O}\) が備わって初めて、集合 \(X\) は「どの要素とどの要素が隣り合っているか」という情報を持った「位相空間 \((X, \mathcal{O})\)」になります。

第2章：位相構造の保存 ── 連続写像

「集合論応用 1」の記事で扱った「写像」という概念に、位相空間の構造を組み合わせます。
位相空間における写像の役割は、単なる要素の対応付けではありません。
「開集合（境界を含まないという構造）」を保存したまま要素を移動させることにあります。

2.1. 「連続」をどう定義するか

トポロジーにおいて、写像が「連続である」とは、空間に「断絶」を生じさせないことを意味します。
第1章で学んだ通り、位相空間の構造は「開集合（境界を含まない範囲）」によって決まっています。
したがって、連続な写像とは、この開集合という構造を壊さない写像のことです。

では、それは「送り元の開集合が、送り先でも開集合になること」なのでしょうか。
実は、数学における連続の定義は、その逆、つまり「送り先から送り元へ」という方向で定義されます。

逆像（Pre-image）の導入

「送り先の結果から、送り元の要素の集合を特定する」ために必要な道具が、逆像です。

写像 \(f: X \to Y\) があるとき、送り先 \(Y\) の部分集合 \(V\) に対して、「\(f\) によって \(V\) の中に写されるような、送り元 \(X\) の要素全体の集合」 を \(V\) の逆像と呼び、記号で \(f^{-1}(V)\) と書きます。

この「逆算」が、空間に断絶（不連続）がないかをチェックするための最も鋭いセンサーとなります。

2.3. 連続写像の数学的定義

「送り元の近所が、送り先でも近所になる」と考える方が自然に思えるかもしれませんが、数学ではあえて送り先から逆向きにチェックします。

その理由は、空間を「ちぎる」という行為を想像するとわかります。

1. ちぎる前：送り元 \(X\) では繋がっていた。
2. ちぎった後：送り先 \(Y\) では、かつての仲間が離れ離れになっている。

ここで、送り先 \(Y\) で「ちぎれた片方の地点」を包む開集合（境界を含まないエリア）を考えます。
これを逆向き（逆像）に辿って送り元 \(X\) に戻すと、元々は繋がっていたはずの場所がプツンと切れた形で現れます。

切れた場所には新しい「端っこ（境界）」が生まれてしまいます。
第1章の定義を思い出してください。開集合は「境界を含まない」ものでした。
逆像によって新しい境界が生まれてしまう（＝開集合ではなくなる）なら、その写像は「どこかで空間をちぎった（不連続である）」と判定できるのです。

2.3. 数による連続のチェック

集合 \(X\) から集合 \(Y\) への写像 \(f: X \to Y\) が連続であるとは、逆像の概念を用いて、以下のように定義されます。

2.4. 「逆」でなければならない理由

なぜ「送り元→送り先」のチェックでは不十分なのか、具体的な数値で比較してみましょう。

1. 連続な場合： \(f(x) = 2x\)
   • 送り先 \(Y\) で開集合 \(V = (2, 6)\) （\(2 < y < 6\)）を選び、逆像を求めます。
     \(y = 2x\) を代入すると \(2 < 2x < 6\) となり、送り元 \(X\) での逆像は \(1 < x < 3\) です。
     これは境界を含まない「開集合」であり、位相のルールが守られているため連続です。
2. 不連続な場合： 境界の発生
   • \(x \le 1$ で $f(x)=x\)、 \(x > 1\) で \(f(x)=x+1\) となる、断絶のある写像を考えます。
     送り先 \(Y\) で開集合 \(V = (0.5, 1.5)\) を選び、逆像を求めます。
     すると、送り元 \(X\) での逆像は \(0.5 < x \le 1\) となります。
     送り先にはなかった \(x=1\) という「境界（イコール）」が、逆算の結果、送り元で突然現れてしまいました。

このように、送り先で「境界なし」であったものが、逆像によって送り元で「境界あり」に変わってしまう現象。これこそが空間の構造が壊れた（不連続である）証拠なのです。

第3章：同相（Homeomorphism） ── 空間を分類する基準

第1章では「空間の構造（開集合）」を定義し、第2章では「その構造を壊さない対応（連続写像）」を定義しました。

これら「開集合」と「連続写像」という2つの道具を組み合わせることで、ようやくトポロジーにおける「図形の同一性」を定義できるようになります。
この「図形の同一性（＝位相的に同じ構造であること）」を、数学では同相どうそうと呼びます。

3.1. 同相写像の定義

2つの位相空間 \(X\) と \(Y\) が「位相的に同じ性質を持つ」とみなされるためには、単に要素が 1 対 1 で対応している（全単射である）だけでは不十分です。
その対応が、双方向に位相構造を保存している必要があります。

この 3 条件を満たす写像が存在するとき、空間 \(X\) と \(Y\) は同相（Homeomorphic）であると言います。ト
ポロジーはこの「同相」という基準によって、世界中の図形を分類していく学問なのです。

3.2. 逆写像の連続性が要求される理由

「全単射かつ連続」という条件だけでは、双方向の位相構造が一致しているとは限りません。
一方向には連続であっても、その逆方向の対応において位相構造（開集合の性質）が破壊されるケースが存在するためです。

典型的な例として、「半開区間 \([0, 1)\)」から「円周 \(S^1\)」への写像を考えます。
「半開区間はんかいくかん」とは、一方の端点は含み、もう一方の端点は含まないような実数の区間のことです。

1. 写像の構成: 線分の左端 \(0\) を含み、右端 \(1\) を含まない半開区間を丸めて、円周の隙間を埋めるように繋ぐ写像を考えます。これは全単射であり、かつ連続な写像として定義できます。
2. 逆写像の不連続性: しかし、その逆写像（円周上の点を元の線分上の点に戻す操作）は連続ではありません。
   • 円周上において、繋ぎ目となった点の付近で「境界（等号）を含まない範囲（開集合）」を選びます。
   • これを逆写像で線分へと戻すと、線分の端点（\(0\)）という「境界」を含む集合になってしまいます。
   • つまり、逆写像の視点では「送り先の開集合の逆像が、送り元で開集合にならない」という事態が起こります。

このように、一方の空間を「閉じる」ような操作は、一方向の連続性は保てても、逆方向から見たときに「開集合の中に境界を生み出してしまう」ため、同相とはみなされません。
「逆写像も連続である」という条件があって初めて、2つの空間の開集合系が 1 対 1 に対応し、位相的に同一であることが保証されます。

3.3. 同相の判定：数直線と拡大された数直線

第2章で扱った \(f(x) = 2x\) は、全実数の集合 \(\mathbb{R}\) から \(\mathbb{R}\) への同相写像です。

• 全単射: 任意の \(y \in Y\) に対して \(\displaystyle x = \frac{y}{2}\) が唯一存在し、要素が 1 対 1 に対応しています。
• 連続性: 第2章で確認した通り、送り先の任意の開集合に対し、その逆像もまた開集合となります。
• 逆写像の連続性: 逆写像 \(\displaystyle f^{-1}(y) = \frac{y}{2}\) も同様に、送り元の任意の開集合を送り先の開集合へ写します。

この結果、トポロジーにおいて実数直線 \(\mathbb{R}\) とそれを 2 倍に拡大した空間は、「位相的に同型（同じ構造を持つ）」と判定されます。

まとめ ── 集合から位相空間へ

「集合論応用」の全3回を通じた本連載も、これで完結です。
第2回のテーマであった「全単射」と、今回の「連続」という概念が結びつくことで、ようやくトポロジーの入り口である「同相」に辿り着きました。

「集合論入門」からの全6記事の流れを振り返ると、数学がどのように「空間」を定義していくのか、その一貫した論理が見えてきます。

1. 集合の基礎（入門 1〜3） まずはバラバラの「要素」をどう扱うかという基礎を固めました。
2. 写像と全単射（応用 1〜2） 集合同士の要素を 1 対 1 で過不足なく対応させる（全単射）方法を学びました。
3. 開集合（応用 3：第1章） 点と点の間に「境界がない（等号を含まない）」というルールを与えることで、集合に「空間としての繋がり方（位相構造）」を持たせました。
4. 逆像と連続（応用 3：第2章） 「送り先の開集合を、逆像によって送り元へ戻しても開集合のままである」という判定法により、構造を壊さない移動（連続写像）を定義しました。
5. 同相（応用 3：第3章） 双方向に連続な全単射によって、2つの空間が「位相的に同一である」と判定する基準を確立しました。

私たちが日常的に意識する「長さ」や「角度」は、実は空間の非常に限定的な性質に過ぎません。
それらをすべて取り払った後に残る、「境界の有無」や「繋がり方の構造」。
その本質を抽出するために、数学者は「開集合」と「逆像」という道具を研ぎ澄ませてきたのです。

「コーヒーカップとドーナツが同じ形である」と語るトポロジーの視点。
その背景には、今回学んだ「逆像による連続性の検証」という厳密な数学的裏付けが存在しています。