指数

前回までで、指数は整数から分数へと拡張され、すべての有理数に対して、統一された指数法則のもとで計算できるようになりました。 ですが、まだ一つ、数直線上に「穴」が残っています。無理数です。 関数のグラフを考えるとき、グラフは途切れることなく、滑らかで連続していなければなりません。 しかし、無理数を指数に持つ値が定義されていない状態では、グラフは連続しません。 今回の記事のテーマは、この「穴」を埋めることです。 有理数で囲まれた極限操作を利用して無理数指数（実数指数）を定義し、すべての実数に対して成立する指数関数の世界を完成させます。

前回の記事では、指数を「自然数」から「整数」の範囲まで拡張し、どんな場合でも使える強力な5つの指数法則を確立しました。 これにより、複雑な計算も一貫したルールで処理できるようになりました。 しかし、指数の世界はこれで終わりではありません。 例えば、平方根や立方根といった「累乗根」の計算であっても、指数法則を使えばスマートに解くことができます。 本記事では、指数をさらに「分数（有理数）」にまで拡張します。 この拡張によって、一見複雑な累乗根の計算が、すべて指数のシンプルな足し算や掛け算として扱えるようになります。

指数は、数学の世界だけでなく、物理学、経済学、情報科学など、あらゆる分野で土台となる極めて重要なツールです。 特に、高校数学で学ぶ対数（log）を深く理解するためには、指数の定義とルールを曖昧なく把握しておく必要があります。 例えば、「2を3回かけた数」が2の3乗になることはご存知かもしれません。 しかし、指数が 0 や負の数になったとき、「2 の 0乗はなぜ 1 なのか？」「マイナスのべき乗はなぜ分数になるのか？」という疑問に、論理的に答えられるでしょうか？ この【指数徹底マスター】シリーズの第1回では、計算の基本となる「整数の指数」に焦点を当てます。 自然数、ゼロ、負の指数の意味を一つ一つ丁寧に掘り下げ、すべての指数計算の基礎となる「指数法則」を徹底的に学び直しましょう。 この記事を読めば、指数に関する疑問が解消し、「すべての指数の定義は、指数法則を守るために決められた」という、数学の背景にある美しい構造が理解できるはずです。